Desafio do sábado – II

  • Os protocolos – programas padronizados utilizados para estabelecer comunicação entre os computadores e demais dispositivos em rede – são específicos para cada sistema operacional.

 

(     ) certo              ( x ) errado

 

comentário

Imagina um protocolo para, linux, windows, MAC OS, Android, IOS , talvez eles só poderiam se comunicar entre si. Ms isso não existe.

(NCE/UFRJ/01)

  • João recebeu o seguinte problema: construa cartazes com quatro letras seguidas de três números. As letras pertencem ao conjunto {I, B, G, E} e podem ser usadas em qualquer ordem sem repetição. Os números devem ser pares e pertencentes ao conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}, e também podem ser usados em qualquer ordem e sem repetição. O número de cartazes diferentes que João pode confeccionar é:

 

 

A) 49

B) 72

C) 98

D) 120

E) 144  resposta correta 

 

Solução:

Podemos observar que são duas permutações, a das letras e a dos números.

O cartaz deve conter 4 letras não repetidas, como o nosso conjunto é de 4 letras. Fazendo a perrmutação é:

4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24

 

O cartaz deve conter 3 números não repetidos, porém, nosso conjunto é de 6 letras. Portanto, é um arranjo. Colocando na fórmula:

6! / 3! = 720 / 6 = 120

Logo:

24 + 120 = 144

Alternativa E

(FUMARC/03)

  • Considere um ANAGRAMA como sendo uma permutação simples das letras de uma palavra dada.

    Usando a informação acima, é CORRETO afirmar que o número de anagramas da palavra BHTRANS que começam pela letra A é igual a:

    A) 600

    B) 720  resposta correta 

    c) 760

    D) 800

 

Solução:

É uma permutação simples (pois não tem letras repetidas).

O único detalhe é que o anagrama tem que começar com a letra A

A ._._._._._._

A palavra tem 7 letras e na primeira letra temos apenas uma opção (letra A), já nas outras temos 6! pois:

A .6.5.4.3.2.1 = 1.6! = 720

Alternativa B

Matemática para Concursos Públicos #ficaadica

  • A disciplina de Matemática é considerada por muitos um “bicho de 7 cabeças”, sendo responsável direta pela reprovação de grande parte dos participantes em concursos públicos. Isso acontece porque as pessoas não tiveram uma boa base de Matemática na escola, e hoje enfrentam enormes dificuldades em lidar com números.

    Porém, a realidade nos mostra que todo mundo sabe muito mais Matemática do que pensa que sabe. A própria sobrevivência exige a realização de diversos problemas matemáticos, e normalmente as pessoas se saem muito bem resolvendo-os. Portanto, se você tem dificuldades em Matemática, não se desespere. É possível superá-las através de um pouco de estudo e, principalmente, muita prática.

    Antes de começarmos, tenha em mente os dois conselhos a seguir, pois eles serão fundamentais no seu processo de aprendizado:

    1) Pratique! Aprender Matemática requer muita prática. Os exercícios são grandes aliados, pois são eles que o ajudarão a fixar os conteúdos. Não adianta somente estudar a parte teórica e depois fazer dois ou três exercícios. Isso ocorre porque dentro de um mesmo conteúdo poderão haver exercícios variados, que deverão ser resolvidos de diferentes formas, e você deve estar preparado para solucionar cada um deles.

    2) Entenda, e não decore! É muito mais proveitoso você utilizar o seu cérebro para entender a resolução de problemas matemáticos, do que usá-lo para decorar fórmulas ou procedimentos específicos para determinados problemas. Dessa forma, ao se deparar com um problema, seu cérebro irá trabalhar no sentido de interpretá-lo e resolvê-lo, ao invés de tentar achar uma solução partindo das coisas que você decorou. Ou seja, suas chances de resolver o problema aumentam substancialmente.

As Possibilidades da Análise Combinatória #ficaadica

  • A necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda os métodos de contagem. Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662).

     A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar – de uma forma indireta – o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições

    Fatorial

Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n!) como sendo:

n! = n .(n-1) . (n-2) . … .4.3.2.1 para n ≥ 2.

Para n = 0 , teremos : 0! = 1.
Para n = 1 , teremos : 1! = 1

Exemplos:

a) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
b) 4! = 4.3.2.1 = 24
c) observe que 6! = 6.5.4!
d) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
e) 10! = 10.9.8.7.6.5!
f ) 10! = 10.9

Princípio fundamental da contagem

 

    Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por:
T = k1. k2 . k3 . … . kn

Exemplo:

O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado?

Solução: 

Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-USTZ.

Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares.

 

Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000. Observe que se no país existissem 175.760.001 veículos, o sistema de códigos de emplacamento teria que ser modificado, já que não existiriam números suficientes para codificar todos os veículos.

 

 

Domingo de manhã

  • 7) Em um conservatório com 80 alunos, 50 estudam piano, 35 estudam violão e 20 estudam os dois instrumentos. Pergunta-se:

    a) Quantos alunos estudam apenas piano?

    b) Quantos alunos estudam apenas violão?

    c) Quantos alunos estudam ao menos um dos dois instrumentos?

    d) Quantos alunos não estudam nenhum dos dois instrumentos?

     

solução

P – Alunos que estudam piano

V – Alunos que estudam violão

a) Sabemos que, ao todo, há 50 alunos que estudam piano. Dentre eles, há 20 que também estudam violão. Logo, restam 30  alunos que estudam apenas piano (50 – 20)

b) Dos 35 alunos que estudam violão, há 20 que também estudam piano, o que significa que apenas 15 estudam somente violão (35 – 20)

c) Vimos acima que há 30 alunos que estudam apenas piano, 15 que estudam apenas violão e 20 que estudam os dois instrumentos, totalizando 65 alunos que estudam ao menos um desses dois instrumentos (30 + 15 + 20)

d) No conservatório há 80 alunos, dos quais 65 estudam piano ou violão. Restam, portanto, 15 alunos que não estudam nenhum dos dois instrumentos (80 – 65)

 

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Carl Friedrich Gauss

Johann Carl Friedrich Gauss nasceu em Brunswick, Alemanha. De família humilde mas com o incentivo de sua mãe obteve brilhantismo em sua carreira. Estudando em sua cidade natal, certo dia quando o professor mandou que os alunos somassem os números de 1 a 100, imediatamente Gauss achou a resposta – 5050 – aparentemente sem cálculos. Supõe-se que já aí houvesse descoberto a fórmula de uma soma de uma progressão aritmética.

Gauss foi para Gõttingen sempre contando com o auxílio financeiro do duque de Brunswick, decidindo-se pela Matemática em 30 de março de 1796, quando se tornou o primeiro a construir um polígono regular de dezessete lados somente com o auxilio de régua e compasso. Gauss doutorou-se em 1798, na Universidade de Helmstãdt e sua tese foi a demonstração do “Teorema fundamental da Álgebra”, provando que toda equação polinomial f(x)=0 tem pelo menos uma raiz real ou imaginária e para isso baseou-se em considerações geométricas.

Deve-se a Gauss a representação gráfica dos números complexos pensando nas partes real e imaginária como coordenadas de um plano. Seu livro “Disquisitiones Arithmeticaé’ (Pesquisas Aritméticas) é o principal responsável pelo desenvolvimento e notações da Teoria dos Números, nele apresentando a notação b=c (mod a), para relação de congruência, que é uma relação de equivalência. Ainda nesta obra Gauss apresenta a lei da reciprocidade quadrática classificada por ele como a “jóia da aritmética” e demonstrando o teorema segundo o qual todo inteiro positivo pode ser representado de uma só maneira como produto de primos descreveu uma vez a Matemática como sendo a rainha das Ciências e a Aritmética como a rainha da Matemática. No começo do séc. XIX abandonou a Aritmética para dedicar-se à Astronomia, criando um método para acompanhar a órbita dos satélites, usado até hoje, e isto lhe proporcionou em 1807, o cargo de diretor do observatório de Gôttingen, onde passou 40 anos.

Suas pesquisas matemáticas continuaram em teoria das funções e Geometria aplicada à teoria de Newton. Em Geodésia inventou o helìtropo, aparelho que transmite sinais por meio de luz refletida e em Eletromagnetismo inventou o magnetômetro bifiliar e o telégrafo elétrico. Sua única ambição era o progresso da Matemática pelo que lutou até o momento em que se conscientizou do fim por sofrer de dilatação cardíaca. Gauss morreu aos 78 anos e é considerado o “príncipe da Matemática”.

Jean Le Rond d’Alembert

Jean Le Rond d’Alembert, nasceu em 17 de novembro de 1717, e morreu em 29 de outubro de 1783.

Foi um matemático e físico francês que desenvolveu as primeiras fases do CÁLCULO, formalizou a nova ciência da mecânica, e foi o editor de ciência da Enciclopedia de Diderot. Com DIDEROT e VOLTAIRE, ele foi uma das figuras principais do esclarecimento na França.

D’Alembert cresceu em Paris. Em 1741 ele foi admitido para a Academia de Ciência de Paris, onde ele trabalhou pelo resto de sua vida.

D’Alembert aparece com Daniel BERNOULLI, Alexis CLAIRAUT, e Leonhard EULER como um dos cientistas principais do tempo dele. Ele foi um dos primeiros a entender a importância de FUNÇÕES e o conceito de limites para o cálculo, e também abriu caminho o uso de equações diferenciais na Física.

Ajudou também a solucionar a controvérsia em física sobre a conservação de energia cinética melhorando a definição de Newton de força no seu Traite de dynamique (1742), que articula o princípio de d’Alembert de mecânica. Ele também estudou hidrodinâmica, a mecânica de corpos rígidos, e o problema de três-corpos em astronomia.

Bibliografia: Essar, Dennis F., The Language Theory, Epistemology, and Aesthetics of Jean Lerond d’Alembert (1976); Grimskey, Ronald, Jean D’Alembert (1963); Hankins, Thomas L., Jean D’Alembert: Science and the Enlightenment (1970); Pappas, John N., Voltaire and D’Alembert (1962); Van Treese, G. J., D’Alembert and Frederick the Great (197