Números racionais

Geratriz de uma dízima periódica

É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica.

Exemplo

2/9 = 0,222…., portanto 2/9 é a fração geratriz da dízima periódica 0,222… .

 

Podemos determinar a fração geratriz de uma dízima periódica através do seguinte processo:

1º) Chamamos a dízima de x. Obtemos a equação (I) que é do tipo: x = dízima.

2º) Multiplicamos a equação (I) por uma potência de 10 de modo que toda a parte não periódica da dízima fique à esquerda da vírgula. Obtemos assim a equação (II).

3º) Multiplicamos a equação (I) por uma potência de 10 de modo que toda a parte não periódica e a primeira aparição do período da dízima fiquem à esquerda da vírgula. Obtemos assim a equação (III).

4º) Fazemos: equação (III) – equação (II).

Exemplo

Calcule as frações geratrizes das seguintes dízimas:

1º) equação (I): x = 0,777…

2º) Como não há parte não periódica, a equação (II) é a mesma que a equação (I):  equação (II): x = 0,777…

.

3º) Como o período é 7 (uma casa) e não há parte não periódica, multiplicamos a equação (I) por 10 para obter a equação (III): equação (III): 10x = 7,777.

 

4º) equação (III)equação (II)

10x = 7,777….

x =    0,777…..

____________

9x = 7

x = 7/9

Portanto, a fração geratriz da dízima 0,777… é 7/9.

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