Progressões Geométricas #ficaadica

  • Podemos definir progressão geométrica, ou simplesmente P.G., como uma sucessão de números reais obtida, com exceção do primeiro, multiplicando o número anterior por uma quantidade fixa q, chamada razão.

     

        Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente evidente, dividindo entre si dois termos consecutivos. Por exemplo, na sucessão (1, 2, 4, 8,…), q = 2.

     

     

    Cálculo do termo geral

     

    Numa progressão geométrica de razão q, os termos são obtidos, por definição, a partir do primeiro termo, da seguinte maneira:   

     

    a1  

    a2

    a3

    a20

    an

    a1

    a1.q

    a1.q2

    …  

    a1.q19

     

    a1.qn-1  

     

        Assim, podemos deduzir a seguinte expressão do termo geral, também chamado enésimo termo, para qualquer progressão geométrica.

     

    an = a1 . qn-1

     

      Portanto, se por exemplo, a1 = 2 e q = 1/2, então:

     

    an = 2 . (1/2)n-1

     

      Se quisermos calcular o valor do termo para n = 5, substituindo-o na fórmula, obtemos:

     

    a5 = 2 . (1/2)51 = 2 . (1/2)4 = 1/8

     

          A semelhança entre as progressões aritméticas e as geométricas é aparentemente grande. Porém, encontramos a primeira diferença substancial no momento de sua definição. Enquanto as progressões aritméticas são formadas somando-se uma mesma quantidade de forma repetida, nas progressões geométricas os termos são gerados pela multiplicação, também repetida, por um mesmo número. As diferenças não param aí.

     

        Observe que, quando uma progressão aritmética tem a razão positiva, isto é, r > 0, cada termo seu é maior que o anterior. Portanto, trata-se de uma progressão crescente. Ao contrário, se tivermos uma progressão aritmética com razão negativa, r < 0, seu comportamento será decrescente. Observe, também, a rapidez com que a progressão cresce ou diminui. Isto é conseqüência direta do valor absoluto da razão, |r|. Assim, quanto maior for r, em valor absoluto, maior será a velocidade de crescimento e vice-versa.

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